MATRICES ALEATORIAS, PROBABILIDAD NO CONMUTATIVA Y TEMAS AFINES
Red mexicana de investigadores y estudiantes en estos temas
Bienvenido al sitio de una comunidad de investigadores/profesores y estudiantes mexicanos alrededor del mundo que trabajamos desde la perspectiva de la matemática en los temas de Matrices Aleatorias, Probabilidad No Conmutativa y Probabilidad Libre. En este sitio encontrarás información sobre estos temas y algunas de sus múltiples conexiones con otras ramas de la matemática y aplicaciones, así como nuestras actividades y líneas de investigación matemática en estos temas.
Una tendencia creciente de la investigación en matemáticas consiste en potenciar la aparición de relaciones inesperadas entre sus diversas ramas. Esto habilita nuevas soluciones y herramientas, motiva desarrollos modernos y proporciona caminos para nuevas intuiciones e interpretaciones. Asimismo, permite abordar de manera abstracta y poderosa algunos de los problemas más relevantes en diversos campos científicos y tecnológicos.
La Probabilidad No Conmutativa y la Teoría de Matrices Aleatorias son dos áreas dinámicas, interrelacionadas y actuales del conocimiento, cuyos trabajos pioneros se deben a muy distinguidos físicos y matemáticos. Su estudio requiere de muy diversas áreas y sus orígenes se encuentran tanto en el ámbito de las aplicaciones como en los desarrollos abstractos. Un punto de encuentro entre estas áreas es la Probabilidad Libre.
La probabilidad no conmutativa se comenzó a desarrollar matemáticamente en los años setenta por Hudson y Parthasarathy, entre otros, motivados por ideas de Von Neumann en mecánica cuántica. En la década de los Ochenta surgió la teoría de probabilidad libre de Dan-Virgil Voiculescu, cuyo objetivo inicial fue resolver problemas acerca de la estructura de las álgebras de Von Neumann. Por estos trabajos y un nuevo concepto de entropía Voiculescu recibió en el año 2004 el Premio en Matemáticas de la National Academy of Sciences de EUA.
Actualmente la probabilidad libre tiene numerosas relaciones con otras áreas de la matemática, algunas de ellas inesperadas. De particular relevancia es la relación con la teoría de matrices aleatorias de dimensión grande y la ley del semicírculo estudiada en los años cincuenta por Eugene Wigner en el contexto de la física nuclear. Esta relación, probada también por Voiculescu, establece que matrices aleatorias independientes de dimensión grande se comportan como variables aleatorias libres. El artículo panorámico de Roland Speicher en el Congreso Internacional de Matemáticas (ICM) en 2014 explica esta relación entre matrices aleatorias y probabilidad libre.
Hoy en día se estudia la relación entre probabilidad no conmutativa y el análisis topológico de datos. Asimismo, el grupo ha incursionado recientemente en aplicaciones de matrices aleatorias y probabilidad libre en ciencia de datos, tales como: redes neuronales, teoría de privacidad, matrices ralas y modelos de series de tiempo ARMA multivariados.
Información complementaria:
- Relevancia y actualidad
- Relaciones con otras ramas de las matemáticas
- Ejemplo de aplicación en comunicación inalámbrica
- Nuevas nociones de independencia y esperanza condicional
- Otras perspectivas en México:
Coordinadores: Octavio Arizmendi (octavius@cimat.mx), Víctor Pérez Abreu (pabreu@cimat.mx)